汉扬编程 编程大纲 兔子繁殖问题和斐波那契数列

兔子繁殖问题和斐波那契数列

斐波那契(1175-1250)出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商,幼年受教育于阿尔及利亚,学到不少当时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后,继承父亲从事商业,走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、 法国和意大利的西西里岛。

兔子繁殖问题和斐波那契数列

斐波那契是一位很有才能的人,特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学较欧洲大陆发达,因此有志于推动欧洲大陆数学的发展。他在其他国家和地区经商时,特别注意搜集当地的算术、代数和几何资料。回国后,便将这些资料加以研究和整理,编成《算经》(1202年,或译《算盘书》)。《算经》的出版,使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后,他又完成了《几何实习》(1220年)和《四艺经》(1225年)两部著作。

兔子繁殖问题和斐波那契数列

图1

兔子繁殖问题和斐波那契数列

《算经》对当时的影响相当巨大。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作,当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作,两个多世纪中一直被奉为经典著作。

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当时的欧洲,虽已多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法,但仅局限在修道院内,一般人还是用罗马数学记数法而且尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》,介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法,这在欧洲大陆产生了极大的影响,并且改变了当时数学的面貌。在这本书的序言中写道:“我把自己的一些方法和欧几里得几何学的某些微妙的技巧加到印度的方法中去,于是决定写现在这本15章的书,使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。”

兔子繁殖问题和斐波那契数列

兔子繁殖问题和斐波那契数列 在斐波那契的《算经》中,载有大量的代数问题及其解答,对于各种解法都给予了严格的证明。下面一个有趣的问题就是出于该书:有个人想知道,一年内1对兔子能繁殖成多少对?于是筑了一道围墙把1对兔子关在里面。已知1 对兔子每个月可以生1对小兔子,而1对兔子生下后第二月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡,那么,1对兔子一年内繁殖成多少对?

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现在我们先来找出兔子繁殖的规律。成熟的1对兔子我们用“成”来表示,未成熟的1对小兔子用“未”来表示。由题意可知,每1对成熟的兔子经过一个月变成本身“成”和新的 1对未成熟的小兔子“未”。未成熟的1对小兔子经过一个月变成成熟的1对兔子“成”,但是没有生出小兔子,月月如此。 按上述规律,我们可以画出一个图来表示兔子的繁殖情况:

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由图2明显看出,第1个月到第6个月兔子的对数是:1, 2, 3, 5, 8, 13。

兔子繁殖问题和斐波那契数列

图2

兔子繁殖问题和斐波那契数列

容易发现,上面这组数有这样一个特征:若继续按这个规律写下去,一直写到第12个数,就得:1, 2, 3,5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377。

显然,第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成377对。

在解决这个有趣的代数问题过程中,斐波那契得到一个数列。人们为了纪念他的这一发现,将这个数列前面增加一项“1”后得到的数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

叫做“斐波那契数列”,这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数‘”。

另外,我们还可以利用等比数列的性质,推导出斐波那契数列的一个外观比较漂亮的通项公式。

读者不难用数学归纳法加以证明。

斐波那契数的奇妙性质美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事:世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13分米的地毯,他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。

他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔,并对他说: “我的朋友,我想请您把这块地毯分成四块,再把它们缝在一起,成为一个8分米x21分米的地图。”奥马尔听了以后对他说:“很遗憾,兰迪先生。您是伟大的魔术家,可是您的算术竟这样差!13×13=169,而8 x 21 = 168,这怎么能办得到呢?”兰迪说:“我亲爱的奥马尔,伟大的兰迪是从来不会错的。劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块(图3)。”

图3

奥马尔照他所说的那样做了。尔后,兰迪先生把这四块重新摆一下,再让奥马尔把它们缝在一起,这样就得到了一块8分米x21分米的地毯(图4)。

图4

奥马尔想:“这怎么可能呢?地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米,那一平方分米到哪里去了呢?”

我们仔细观察兰迪先主的两个图形,不难发现,将四个小块拼成长方形时,在对角线中段附近发生了微小的重迭。正是沿着对角线的这点迭合,导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试试。

上面两个图形中涉及到的四个长度数5、8、13、21 都是斐波那契数,并且13×13=8x 21+1,8×8=5×13-1。

有兴趣的话,你自己可以证明一下,或者参阅有关的书籍。

斐波那契数列在实际生活中有着广泛而有趣的应用。除了动物的繁殖外,植物的生长也与斐波那契数有关。数学家盆泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长的问题:如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝,并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝(图5)。那么,第1年它只有主干,第2年有两枝,第3年有3枝,然后是5枝、8枝、13枝等等,每年的分枝数正好为斐波那契数。

图5

生物学中所谓的“鲁德维格定律”,实际就是斐波那契数列在植物学中的应用。

从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值,在现代优选法中有重要应用的“黄金率”,就和斐波那契数列有密切关系。

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终于有人把如何精通C++讲明白了

求2013通用规范汉字表注音?

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